5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка п с постоянными коэффициентами

(12)

                                         

где a_i (i = 1, 2, .. , n) — действительные постоянные. Уравнение

(13)

полученное заменой производных  y^(k) (k = 0, 1, …, n) искомой функции степенями λ^k, называется характеристическим уравнениемдля уравнения (12). Каждому действительному корню λ уравнения (13) кратности r соответствуют r линейно независимых решений уравне­ния (12):

а каждой паре комплексных корней λ = α ± iβ кратности s соответствуют s пар линейно независимых решений

Таким образом если характеристическое уравнение имеет k действительных корней λ₁ , …, λ_k кратностей r₁ , …, r_k и l пар комплексно сопряженных корней

кратностей s₁ , …,s_l   , то общее решение уравнения (12) Запишется в виде

(14)

 где Рν (х) — произвольный многочлен   степени  r_ν — 1, ν = 1, … , k, а Q_μ(x) и R_μ(x) —произвольные многочлены степени s_μ - 1, μ = 1, …, l

 

6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение вида

(15)

 

где a_i (i = 1, 2, …, n) — действительные постоянные, а f(x) ¹ o.

Согласно формуле (9) общее решение уравнения (15) записывается в виде y(x) = y₀(x) + ỹ(x), где y₀(x) —общее решение соответствующего однородного уравнения, а ỹ(x)—любое частное решение уравнения (15). Общее решение у₀(х) дается формулой (14). Для отыска­ния ỹ(x) в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных (см. п. 4).