8. Теорема существования  и  единственности решения. Особые решения. Задачей Коши для дифференциального уравнения у' = f (х, у)

называется задача об отыскании частного решения этого уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию у(х₀)=у₀.

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении у' = f (x, у) функция f (х, у) непрерывна в некоторой области D плоскости Oxy и имеет в этой области ограниченную частную производную f'_y (x, у), то для любой точки (х₀, у₀) Î D в некотором интервале х₀—h ≤  x ≤  х₀ + h  существует и притом единственное решение у (х) этого уравнения, удовлетворяющее, начальному условию y (х₀) = y₀

Геометрически это означает, что через каждую точку М области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

у' = f (x, у).

 

Точки области D, в которые нарушается единственность, решения задачи Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения.

 

Решение (интегральная кривая) уравнения y'=f(x, у), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением (особой интегральной кривой) этого уравнения. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких значениях С (включая и С = ± µ).

Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых общим решением y = j(x, C) или общим интегралом Ф (х, у, C) = 0, является особой интегральной кривой. Она находится путем исключения, если это возможно, параметра С из системы двух уравнений

 

или

Найденную таким путем функцию следует подставить в данное дифференциальное уравнение и убедиться, что она является его решением.