§ 3. Применения операционного исчисления

1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами. Для того чтобы найти решение х (t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

(1)

(где f(t) — оригинал), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т е от уравнения (1) с условиями (2) перейти к операторному уравнению

где X(р) — изображение искомого решения, F(р) — изображение функции f(t), a Q(р) — некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных  и который тождественно равен нулю, если  Решив операторное уравнение относительно X(р).

 — характеристический многочлен данного уравнения) и найдя оригинал для X(р), мы получим искомое решение x(t). Если считать  произвольными постоянными, то найденное решение будет общим решением уравнения (1) Совершенно аналогично решаются и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо одного операторного уравнения мы получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций.