Функции комплексной переменной

1. Понятие функции комплексной переменной.

Множество точек расширенной комплексной плоскости называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется областью и обозначается через , и т. п. Область называется односвязной, если ее граница является связным множеством: в противном случае область называется многосвязной.

Если каждому комплексному числу , принадлежащему области , поставлено в соответствие некоторое комплексное число , то говорят, что в области определена комплексная функция .

Пусть и . Тогда функция может быть представлена с помощью двух действительных функций и действительных переменных и :

где

,

Пример 1

Указать область, определяемую условием .

Так как и то получаем неравенство

или

Из последнего неравенства следует, что . Возводя обе части неравенства в квадрат, находим . Следовательно, искомая область определяется неравенством , т. е. представляет собой открытое множество точек, ограниченное графиком параболы и содержащее точку .

Пример 2

Найти действительную и мнимую части функции

Полагая , находим

таким образом

и

Основные элементарные функции комплексной переменной.

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называются основными элементарными

1. Дробно-рациональная функция

Частными случаями этой функции являются:

а) линейная функция:

б) степенная функция

в) дробно-линейная функция

г) функция Жуковского

2. Показательная функция

3. Тригонометрические функции

4. Гиперболические функции

5. Логарифмическая функция

Функция Ln z является многозначной. В каждой точке z, отличной от нуля и безконечности, она принимает бесконечно много значений. Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается через ln z. Таким образом,

6. Общая степенная функция

Эта функция многозначна, ее главное значение равно . Если то получаем многозначную функцию - корень n-й степени из комплексного числа:

7. Общая показательная функция

Главное значение этой многозначной функции равно . В дальнейшем при a > 0 полагаем .

8. Обратные тригонометрические функции arcsin z, arccos z, arctg z, и обратные гиперболические функции arsh z, arch z, arth z.