Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Число называется пределом функций при и обозначается если для любого найдется такое, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Говорим, что , если для любого R > 0 найдётся такое, что для всех таких, что , выполняется неравенство

Следует иметь в виду, что для данной функции существование предела по любому фиксированному пути () ещё не гарантирует существование предела при .

Пример 1

Пусть Показать, что не существует

Для предела при по любому лучу имеем

т. е. эти пределы различны для различных направлений - они запол-няют сплошь отрезок [-1, 1], и, следовательно,

не существует

Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке и

Функция , непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Функция называется равномерно непрерывной в области D, если для любого найдется такое, что для любых точек и из области D таких, что , выполняется неравенство .