Производная. Аналитичность функции.

Если в точке существует предел

То он называется производной функции в точке z и обозначается через или

Если в точке функция имеет производную , то говорим, что функция дифференцируема в точке z.

Функция , дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную , назы-вается аналитической в области D. Будем также говорить, что аналитическая в точке , если является аналитической в некоторой окрестности точки .

Для того чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и , удовлетворяющих условиям Коши-Римана:

или, в полярных координатах,

При выполнении условий (1) или (2) производная может быть записана соответственно:

или

Формулы дифференцирования функций комплексной переменной аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.

Пример 1

Доказать, что функция аналитична и найти .

Имеем

т.е.

Поэтому

Следовательно, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по первой из формул (3)