Интеграл по кривой и его вычисление.

Пусть l - дуга направленной кусочно гладкой кривой в плоскости (z), точки , k = 0, 1, ..., n, разбивают дугу l на частичные дуги, на каждой из которых выбрано по одной точке , k = 1,..., n. По определению полагаем

при условии, что предел в правой части (1) существует и не зависит ни от способа разбиения дуги l на частичные дуги, ни от выбора точек . Если функция непрерывна на l, то интеграл (1) существует.

Если , то вычисление интеграла (1) сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода

Пример 1

Пользуясь определением (1), вычислить где l - радиус-вектор 1 + i.

Разбиваем радиус-вектор точки 1 + i на n равных частей, т. е. полагаем

и пусть . Тогда интегральная сумма запишется в виде

Следовательно,