Ряды Лорана

1. Ряды Лорана

Рядом Лорана называется ряд

при этом ряд

называется главной частью ряда Лорана, а ряд

правильней частью. Если

то областью сходимости ряда (1) является кольцо . В этом кольце К сумма ряда является функцией аналитической, причем коэффициенты ряда связаны с функцией посредством формул

где

Пример 1

Найти область сходимости и сумму ряда Лорана

Применяя признак Коши к каждому из этих слагаемых, имеем:

и

Отсюда заключаем, что область сходимости исходного ряда является кольцо

Замечая, что слагаемые являются производными от рядов

и

можно записать, что в кольце К:

Таким образом, суммой данного ряда является функции

2. Теорема Лорана.

Если функция аполитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана

коэффициенты которого вычисляются по формулам (2).

Следствие.

Пусть аналитична в многосвязной области D, ограниченной контуром Г и внутренними контурами (рис. 99). Если точка лежит внутри (или на границе) одного из внутренних контуров и величина меньше расстояния R от до остальной части границы области D или до точки, в которой не аналитична т. е.

то в кольце функция может быть представлена ее рядом Лорана

коэффициенты которого определяются по формулам (2).

Рядом Лорана для функции в окрестности точки называется ряд

сходящийся в некотором кольце (соответственно ), при этом главной частью ряда Лорана является ряд , а правильной - ряд