Основные понятия и формулы векторного анализа

1. Производная по направлению и градиент скалярного поля.

Пусть - единичный вектор данного направления , - радиус-вектор точки . Производная скалярного поля в точке по направлению , обозначаемая через , определяется соотношением

и характеризует скорость изменения функции в направлении . Производная вычисляется по формуле

Градиентом скалярного поля , обозначаемым символом и, называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные функции , т. е.

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для n-мерных скалярных полей.

2. Потенциальное векторное поле.

Векторное поле называется потенциальным, если вектор поля является градиентом некоторой скалярной функции :

Функцию в этом случае называют потенциалом векторного поля. Необходимым и достаточным условием потенциальности дважды дифференцируемого в односвязной области поля является равенство нулю вихря этого поля:

Пример 1

Проверить, что вихрь трехмерного векторного поля тождественно равен нулю (функцию предполагаем дважды дифференцируемой).

Так как то, учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, получаем

Потенциальное поле обладает следующими свойствами.

1. В области непрёрывности потенциала поля линейный интеграл от вектора поля, взятый между двумя точками поля не зависит от пути интегрирования и равен разности значений потенциала поля в конце и начале пути интегрирования

(использована легко проверяемая формула )

2. Циркуляция вектора поля по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю

3. Если поле потенциально, то потенциал поля в произвольной точке может быть вычислен по формуле (3):

причем что легко получается подстановкой в (4) вместо переменной точки фиксированной точки .

Для вычисления интеграла (4) можно выбрать любой путь - проще всего в качестве такого пути выбрать ломаную со звеньями, параллельными осям координат, соединяющую точки и . За точку удобно принимать начало координат (если оно лежит в области непрерывности поля).