2. Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости.

 Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т. е. сходится ряд

   

(3)

 

 

Если ряд (1) сходится, а ряд  (3) расходится, то   ряд (1) называется условно сходящимся.

Если же для n > N₁  члены ряда (1) удовлетворяют условию 0 < с_n ≤ |и_n| , причем  

ряд  расходится, то ряд (3) расходится, т. е, ряд (1) не сходится абсолютно.

 

 

На практике более эффективным оказывается следующий

 Если рядсходится абсолютно и существует 

конечный   предел     ,то ряд (1) также сходится  абсолютно. Если  же члены рядов и_n и v_n — действительные положительные числа и

 

то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся

 

Признак Даламбера. Если члены ряда (1) таковы, что существует конечный предел

то  при  0 ≤ l ≤ 1   ряд (1)  сходится   абсолютно, при l > 1— расходится, а при l=1 требуется дополнительное исследование.

Признак  Коши. Пусть    Тогда, если

 

0 ≤ l ≤ 1, то ряд (1) сходится абсолютно, если l > 1— ряд (1) расходится, а при l=1 требуется дополнительное исследование.

 

При использовании признака Коши бывает полезна следующая формула Стирлинга:

  Интегральный признак Коши. Пусть функция f(x) положительна и монотонна при х ≥ 1, и пусть для всех nÎ N имеет место равенство f(n) = |u_n|. Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е. ряд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несобственным интегралом