§ 3. Степенные ряды 1. Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд

 

(1)

называется степенным по степеням (z—z₀). Вчастности, ряд

(2)

является степенным по степеням z. С помощью замены z—z₀  = Z ряд (1) сводится к ряду (2).

 

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке

z = z₁ ¹ 0, то он абсолютно сходится для всех z таких, что | z | < | z |, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге

| z | ≤ r < | z_l |.   Если  же ряд  (2)  расходится  в точке z = z₂, то он расходится и для всех z таких, что | z | >  | z₂ |.

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке z₀), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т. е. из условий

или

 

Отсюда для вычисления радиуса R круга сходимости получаем соотношения